a) Sai. Xét tam giác \(AMN\) có \(AM = 3,2{\rm{km}}\); \(MN = 5,5{\rm{km}}\), \(\widehat {AMN} = \alpha = {140^ \circ }\), áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có:

\(A{N^2} = A{M^2} + M{N^2} - 2.AM.MN.\cos \alpha \)

\( \Rightarrow AN = \sqrt {{{\left( {3,2} \right)}^2} + {{\left( {5,5} \right)}^2} - 2.\left( {3,2} \right).\left( {5,5} \right).\cos {{140}^ \circ }} \approx 8,21\left( {{\rm{km}}} \right).\)

b) Đúng. Xét tam giác \(AMN\) có \(AM = 3,2{\rm{km}}\); \(MN = 5,5{\rm{km}}\); \(AN \approx 8,21{\rm{km}}\) ta có:

\(\cos \widehat {MNA} = \frac{{M{N^2} + N{A^2} - A{M^2}}}{{2.NM.NA}} \approx 0,968 \Rightarrow \widehat {MNA} \approx {14,55^ \circ } < {15^ \circ }.\)

c) Đúng. Xét tam giác \(MNB\) có \(NB = 3,6{\rm{km}}\), \(MN = 5,5{\rm{km}}\); \(\widehat {MNB} = \beta = {145^ \circ }\), áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có:

\(M{B^2} = N{M^2} + B{N^2} - 2.NM.BN.\cos \beta \)

\( \Rightarrow MB = \sqrt {{{\left( {3,6} \right)}^2} + {{\left( {5,5} \right)}^2} - 2.\left( {3,6} \right).\left( {5,5} \right).\cos {{145}^ \circ }} \approx 8,7\left( {{\rm{km}}} \right).\)

d) Sai. Ta có: \(\widehat {ANB} = \widehat {MNB} - \widehat {MNA} \approx {145^ \circ } - {14,55^ \circ } = {130,45^ \circ }\)

Xét tam giác \(ANB\) có \(NB = 3,6{\rm{km}}\); \(AN = 8,21{\rm{km}}\), \(\widehat {ANB} \approx {130,45^ \circ }\), áp dụng định lý cosin ta có:

\(A{B^2} = A{N^2} + N{B^2} - 2.AN.NB.cos\widehat {ANB}\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {8,21} \right)}^2} + {{\left( {3,6} \right)}^2} - 2.\left( {8,21} \right).\left( {3,6} \right).\cos {{130,45}^ \circ }} \approx 11,37\left( {{\rm{km}}} \right).\)

Khi đó, thời gian người đó đi hết quãng đường \(AB\) bằng đường hầm là:

\({t_1} = \frac{S}{v} = \frac{{11,37}}{{80}} \approx 0,1422\left( {\rm{h}} \right) \approx 9{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)

Nếu đi từ \(A\) đến \(B\) bằng đường tránh thì quãng đường người đó phải đi là:

\(3,2 + 5,5 + 3,6 = 12,3\left( {{\rm{km}}} \right).\)

Do đó thời gian đi hết quãng đường này là:

\({t_2} = \frac{{12,3}}{{40}} = 0,3075\left( {\rm{h}} \right) \approx 18{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)

Vậy nếu đi bằng đường xuyên núi sẽ nhanh hơn đi đường tránh một khoảng thời gian là:

\(18 - 9 = 9{\rm{\;(ph\'u t)}}.\)

Cho alpha là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?