Cho A là số chính phương và có bốn chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được một số chính phương B . Tìm A. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Tính chất số chính phương

Lời giải

Ta gọi \(A = \overline {abcd}  = {m^2}\) và \(B = \overline {abcd}  + 1111 = {n^2}\) với \(m,n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};31 < m < n < 100\)

Suy ra \({n^2} - {m^2} = 1111 \Leftrightarrow \left( {n - m} \right)\left( {n + m} \right) = 1111\)

Ta thấy tích \(\left( {n - m} \right)\left( {n + m} \right) > 0\) và hai số \(n - m;n + m\) là số nguyên dương

Ta có \(n - m < n + m < 200\), mà 1111 chỉ có 11 và 101 là ước khác 1 và chính nó.

Vậy \(\left( {n - m} \right)\left( {n + m} \right) = 11 \times 101 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n - m = 11}\\{n + m = 101}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 56}\\{m = 45}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = 2025}\\{B = 3136}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)