Cho ΔABC vuông tại A, vẽ đường trung tuyến AM(M∈BC). Từ M kẻ MH vuông góc với AC(H∈AC), trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MK=MH.
a) Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MKB\) có:
\[MH = MK\] (gt);
\(\widehat {HMC} = \widehat {KMB}\) (đối đỉnh);
\[MC = MB\] (\(AM\) là đường trung tuyến trong \(\Delta ABC).\)
Do đó \(\Delta MHC = \Delta MKB\) (c.g.c).
b) Từ câu a: \(\Delta MHC = \Delta MKB\).
Suy ra \(\widehat {HCM} = \widehat {KBM}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(BK\,{\rm{//}}\,HC.\)
c) Vì \(BK\,{\rm{//}}\,HC\) nên \(BK\,{\rm{//}}\,AH\) suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {BHA}\) (so le trong).
Vì \(\Delta MHC = \Delta MKB\) (câu a) nên \(\widehat {KBH} = \widehat {KHC} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) và \(\Delta MKB\) vuông tại \(K\) có:
Cạnh \(BH\) chung;
\(\widehat {KBH} = \widehat {BHA}\) (cmt);
Do đó \(\Delta ABH = \Delta KHB\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(BK = AH\) (hai cạnh tương ứng).
d) Vì \(\Delta MHC = \Delta MKB\) suy ra \(BK = CH\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(BK = AH\) (cmt) nên \(HC = HA\) suy ra \(BH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Mà \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)
Mặt khác, \(CI\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).
Do đó ba điểm \(I,\,\,G,\,\,C\) thẳng hàng.