Cho ΔABC vuông tại A, đường trung tuyến CM a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM; b) Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng ΔMAC = ΔMB

a) Ta có ΔABC vuông tại A

⇒BC2=AB2+AC2 (định lý Pytago)

102=AB2+62100=AB2+36

⇒AB2=100−36=64⇒AB=64=8cm   

Ta có BM = BM=AB2=82=4cm (vì M là trung điểm của AB)

b, 

Xét ΔMAC và ΔMBD có:

                     (2 góc đối đỉnh)

                    MA = MB (vì M là trung điểm của AB)

                    MC = MD (gt)

          Do đó:  ΔMAC = ΔMBD (c.g.c)

           (2 cạnh tương ứng)        (1 điểm)

c) Ta có AC + BC = BD + BC (1) (vì AC = BD)

          Lại có 2CM = CD (2) (vì M là trung điểm của CD)          

          Xét ΔBCD có: BD + BC > CD (3) (bất đẳng thức tam giác)

          Từ (1), (2) và (3)  AC + BC > 2CM          (1 điểm)

c, 

Ta có AC + BC = BD + BC (1) (vì AC = BD)

          Lại có 2CM = CD (2) (vì M là trung điểm của CD)          

          Xét ΔBCD có: BD + BC > CD (3) (bất đẳng thức tam giác)

          Từ (1), (2) và (3)  AC + BC > 2CM          (1 điểm)

d, 

 

              

Xét ΔACD có: AM là đường trung tuyến và AKAM=23

 K là trọng tâm của ΔACD

  CK cắt AD tại N là trung điểm của AD

   Xét ΔABD có: DM và BN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại I

 I là trọng tâm ΔABD

⇒ID=23DM

=23.DC2=DC3

(vì M là trung điểm của DC)⇒DC=3ID