Cho ΔABC nhọn. Đường tròn (O), đường kính BC cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại các điểm E,D(E≠B,D≠C). Gọi H là giao điểm của BD và CE;F là giao điểm của AH và BC. (ảnh 1)

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(BD \bot AC\,;\,\,CE \bot AB\).

Vì \[\Delta AEH\]vuông tại \[E\] nên \[\Delta AEH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Vì \[\Delta ADH\] vuông tại \[D\] nên \[\Delta ADH\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Suy ra: tứ giác \[ADHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

b) Chứng minh: \[H\] là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AF \bot BC\)

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) suy ra \(AH \cdot BD = AD \cdot BC\).

c) Chứng minh tứ giác \[A,\,\,M,\,\,F,\,\,O,\,\,N\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Ta chứng minh được \(\widehat {AMN} = \widehat {AFM}\) (3)

Chỉ ra suy ra \(A{M^2} = AE \cdot AB\)

Chỉ ra suy ra \(AH \cdot AF = AE \cdot AB\)

Do đó \(A{M^2} = AH \cdot AF\)

Suy ra hay \(\widehat {AFM} = \widehat {AMH}\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)

Vậy \[M,\,\,H,\,\,N\] thẳng hàng.

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB=6cm,BH=4cm. Độ dài cạnh AC là: