Cho ΔABC vuông tại A (AC < AB), nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A với đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại K. Từ K kẻ tiếp tuyến thứ hai với (O) tại D. Gọi H là giao điểm của AD và B

a. Chứng minh \(O,A,K,D\) thuộc một đường tròn.

Chỉ ra \[\widehat {OAK} = \widehat {ODK} = 90^\circ \].

Tam giác \[OAK\]vuông tại \[A\] nên \[O,A,K\] thuộc đường tròn đường kính \[OK\].

Tam giác \[\Delta ODK\]vuông tại \[D\] nên \[O,D,K\] thuộc đường tròn đường kính \[OK\].

Vậy bốn điểm \[O,A,D,K\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[OK\].

b)

Chỉ ra \[OK \bot AD\] tại \[H\]là trung điểm\[AD\].

Chỉ ra \(\widehat {DAE} = 90^\circ  \Rightarrow AE \bot AD \Rightarrow AE\,{\rm{//}}\,BC\).

Chỉ ra \(HFKD\)nội tiếp đường tròn đường kính\(KD \Rightarrow \widehat {KHF} = \widehat {KDF}\).

Chỉ ra \(\widehat {KDF} = \widehat {DEF}\) (cùng phụ với \(\widehat {EDF}\)) = \(\widehat {DAF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF\) của \((O)\)Từ đó suy ra \(\widehat {KHF} = \widehat {DAF}\) hay \(\widehat {GHF} = \widehat {GAH}\).

Từ đó suy ra $\Delta GHF\backsim \Delta GAH$ (g.g) \( \Rightarrow G{H^2} = GF \cdot GA\).

c)

Kẻ đường kính \(AN\) của \((O) \Rightarrow \widehat {AFN} = 90^\circ \).

Từ $\Delta GHF\backsim \Delta GAH$ (câu b) \( \Rightarrow \widehat {GFH} = \widehat {AHG} = 90^\circ \).

Suy ra \(N,H,F\)thẳng hàng.

Có $\Delta ABM\backsim \Delta AND$ (g.g).

Mà có \(I\)là trung điểm\(AM\),\(H\)là trung điểm\(AD\).

Từ do suy ra $\Delta ABI\backsim \Delta ANH\text{ (c.g.c)}$

\[ \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {ANH} = \widehat {{\rm{ANF}}} = \widehat {ABF}\]

\[ \Rightarrow B,I,F\]thẳng hàng.