Cho ΔABC vuông tại A (AB<AC), có AH là đường cao. Từ H kẻ HD vuông góc với AB (D∈AB) và HE vuông góc với AC (E∈AC). (a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?

a) \(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(\widehat {HDA} = 90^\circ \) (vì \(HD\) vuông góc với \(AB\))

\(\widehat {HEA} = 90^\circ \) (vì \(HE\) vuông góc với AC)

Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật.

b) Vì tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(DH = AE\) (tính chất)

Mà \(AE = EK\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AK\)) suy ra \(DH = EK\).

Xét tứ giác \(DHKE\) có:

\(DH = EK\) (chứng minh trên)

\(DH{\rm{ // }}EK\) (vì \(ADHE\) là hình chữ nhật)

Suy ra \(DHKE\) là hình bình hành.

c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có:

\(AM\) là đường trung tuyến suy ra M là trung điểm của BC suy ra

\(MB = MC = \frac{1}{2}BC\) và \(AM = \frac{1}{2}BC\)

Xét \(\Delta MAC\) có: \(MA = MC\)(chứng minh trên)

Suy ra \(\Delta MAC\) cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\) hay \(\widehat {QAE} = \widehat {MCA}\) (1)

Vì tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DHA} = \widehat {DEA}\) hay \(\widehat {DHA} = \widehat {QEA}\) (2)

Mà \(\widehat {DHA} + \widehat {DHB} = 90^\circ \) (3)

Vì \(HD{\rm{ // }}AC\) nên \(\widehat {DHB} = \widehat {MCA}\) (đồng vị) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta QEA\) có \(\widehat {QAE} + \widehat {QEA} + \widehat {AQE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AQE} = 90^\circ \).

Vậy \(\Delta AEQ\) vuông ở \(Q\).