Cho ΔABC, trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DA=DE. (a) Chứng minh ΔADB=ΔEDC và AB//EC. (b) M là trung điểm AB, đường thẳng MD cắt CE tại N. Chứng minh D là trung điểm

a) Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta EDC\] có:

\[DA = DE\] (gt);

\(\widehat {ADB} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh);

\(BD = CD\) (vì \(AD\) là đường trung tuyến \(\Delta ABC\)).

Do đó \[\Delta ADB = \Delta EDC\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {DEC}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,EC.\]

b) Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EDN\] có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {DEC}\) (cmt);

\(AD = DE\) (vì \[\Delta ADB = \Delta EDC\]);

\(\widehat {ADM} = \widehat {EDN}\) (đối đỉnh)

Do đó \[\Delta ADM = \Delta EDN\] (g.c.g)

Suy ra \[MD = DN\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó D là trung điểm MN.

c) Gọi \[G\] là giao điểm của \[AD\] và \[BK\].

Xét \(\Delta ABC\) có \[AD\] và \[BK\] là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \[G\].

Suy ra \[G\] là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AD.\)

Xét \(\Delta AMN\) có D là trung điểm MN (câu b).

Suy ra \[AD\] là đường trung tuyến \(\Delta AMN.\)

Mà \(AG = \frac{2}{3}AD\) nên \[G\] là trọng tâm \(\Delta AMN.\)

Vì \(MH\) là đường trung tuyến \(\Delta AMN\) nên \(G \in MH\).

Do đó ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy.