Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Các đườ

) Ta có BFC^=90°(CF ⊥ AB)

BEC^=90° (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác BFEC có BFC^=BEC^=90°

Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp.

2) Từ A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Ta có xAB^=ACB^(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

MàACB^=AFE^ (tứ giác FECB nội tiếp)

Suy ra xAB^=AFE ⇒^Ax // FE (hai góc so le trong)

Mà Ax ⊥ AO (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra FE ⊥ OA (điều phải chứng minh)

3) Ta có: ACK^=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒BK⊥AB

ABK^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒BK⊥AB

Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (cúng vuông góc AC)

CH // BK (cùng vuông góc AB)

Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành

Tứ giác BHCK là hình bình hành có M là trung điểm BC

Suy ra M cũng là trung điểm HK suy ra M, H, K thẳng hàng

SA cắt đường tròn (O) tại N

Xét tứ giác nội tiếp BFEC có FE cắt BC tại S

Xét ∆SFB và ∆SCE có:

ESC^ là góc chung

SFB^=SCE^ (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra ∆SFB  ∆SCE (g.g)

Suy ra SFSC=SBSE⇔SF.SE=SB.SC

Tương tự tứ giác BNAC nội tiếp (O) có AN cắt CB tại S.

Suy ra SN.SA = SB.SC

Từ 2 điều trên suy ra SN.SA = SF.SE 

 Xét ∆SNF và ∆SEA có:

ASE^ là góc chung

SNSE=SFSA (chứng minh trên)

Do đó ∆SNF  ∆SEA (c.g.c)

Suy ra SNF^=SEA^.

Suy ra tứ giác ANFE nội tiếp (1)

Ta có AFH^=90°(CF ⊥ AB)

AEH^=90° (BE ⊥ AC)

Xét tứ giác AFHE có AFH^+AEH^=90°+90°=180°

Suy ra tứ giác AFHE nội tiếp. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, N, F, H, E nội tiếp cùng một đường tròn.

Có AEH^=90° (BE ⊥ AC)  AH là đường kính .

Suy ra ANH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒NH⊥SA.

Ta có KNA^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒KN⊥SA.

Mà NH ⊥ SA (cmt).

Suy ra K, H, N thẳng hàng hay 4 điểm K, M, H, N thẳng hàng.

Suy ra MH ⊥ SA.

Xét tam giác ABC có H là giao điểm của 2 đường cao CF và BE.

Suy ra AH là dường cao thứ ba suy ra AH ⊥ BC hay AH ⊥ SM.

Xét tam giác ASM có:

MH ^ SA (cmt);

AH ^ SM (cmt).

Suy ra H là trực tâm của tam giác ASM.

Vậy SH ⊥ AM (điều phải chứng minh).