Cho Δ ABC nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn ( O ) . Điểm M di động trên cung nhỏ BC . Vẽ M H vuông góc với AB ở H , MK vuông góc với AC ở K .

20/21

(1,5 điểm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn $\left( O \right)$. Điểm $M$ di động trên cung nhỏ $BC$. Vẽ $MH$ vuông góc với $AB$ ở $H$, $MK$ vuông góc với $AC$ ở $K$.

a) Chứng minh rằng $AM$ là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm $A,\,\,H,\,\,K.$

b) Chứng minh rằng $HK = AM.\sin \widehat {BAC}$

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để $HK$dài nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

$Cho $\Delta ABC$ nhọn có ba đỉnh nằm trên đườn (ảnh 1)$

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AM.$ Khi đó $AI = MI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AHM$ vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $HI = \frac{1}{2}AM.$

Xét $\Delta AKM$ vuông tại $K$ có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$ nên $KI = \frac{1}{2}AM.$

Do đó $AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM$ nên bốn điểm $A,H,M,K$ cùng thuộc đường tròn tâm $I,$ đường kính $AM$.

Hay $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( I \right)$ đi qua ba điểm $A,\,\,H,\,\,K.$

b) Gọi $N$ là giao điểm của $HI$ và đường tròn tâm $I$ đường kính $AM.$

Suy ra $\widehat {HKN} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\Delta HKN$ vuông tại $K$

Ta có $HK = HN.\sin \widehat {HNK}$

Mà $HN = AM$ (cùng là đường kính của đường tròn tâm $I$)

Và $\widehat {HNK} = \widehat {HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$ của đường tròn tâm $I$)

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có $\Delta ABC$ cố định nên $\sin \widehat {BAC}$ không đổi

Do đó từ $HK = AM.\sin \widehat {BAC}$, để $HK$ dài nhất thì $AM$ dài nhất mà $AM$ là dây của đường tròn $\left( O \right)$

Nên $AM$ dài nhất khi $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$

Do đó $M$ đối xứng với $A$ qua $\left( O \right)$.