Cho ΔABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường cao BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

8/9

Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao$BE,\,CF$cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $B$, $F$, $E$, $C$cùng thuộc một đường tròn.
b) Tia \[{\rm{EF}}\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Gọi \[K\] là giao điểm của\[MA\] và đường tròn $(O)$. Chứng minh $MF\,.\,ME = MB\,.\,MC$và $\Delta MFA$∽$\Delta MKE$.
c) Tia $AH$cắt $BC$tại $D$. Đường thẳng qua $B$và song song với $AC$, cắt tia $AD$ tại $P$, cắt đoạn thẳng $AM$tại $Q$. Chứng minh $BP = BQ$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn \(( (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta BEC$ có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên $B$; $C$; $E$ thuộc đường tròn đường kính$BC$.

Xét $\Delta BFC$ có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên $B$; \[F\]; $C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Suy ra bốn điểm $B$; $F$; $E$; $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính$BC$

b) $MF\,.\,ME = MB\,.\,MC$

$MB\,.\,MC = MK\,.\,MA$

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: $\Delta MFA \sim \Delta MKE$

c) Xét $\Delta ABC$ có

$BE$; $CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$

Suy ra $H$là trực tâm$\Delta ABC$

suy ra bốn điểm $B,$$F$, $D$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$

Suy ra $\widehat {HFD} = \widehat {HBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HD$)

Xét đường tròn đường kính$BC$có$\widehat {EFC} = \widehat {EBC}$

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra $\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}$ nên$\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}$

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}$

Suy ra $\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}$. Vậy \[BP = BQ\].