Cho Δ ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Tia EF cắt tia CB tại K .

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\) nội tiếp và \(KF.KE = KB.KC\).

Xét tứ giác \[BFEC\], có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\\\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow F,E\] cùng nhìn cạnh \[BC\] dưới một góc \[{90^o}\]

\[ \Rightarrow \]Tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

\[ \Rightarrow \widehat {KBF} = \widehat {KEC}\] (cùng bù \[\widehat {FBE}\]).

 

\( \Rightarrow \frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{KF}}{{KC}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

\[ \Rightarrow KB.KC = KE.KF\] \(\left( 1 \right)\)

b)   Đường thẳng \(KA\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\). Chứng minh tứ giác \(AEFM\) nội tiếp.

Ta có  \(AMBC\) nội tiếp \(\left( O \right)\)

\[ \Rightarrow \widehat {KMB} = \widehat {KCA}\]  (cùng bù \(\widehat {BMA}\))

 

\[ \Rightarrow \]\(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}}\)  (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

\[ \Rightarrow KB.KC = KM.KA\] \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \[ \Rightarrow KM.KA = KE.KF\]

\[ \Rightarrow \frac{{KM}}{{KE}} = \frac{{KF}}{{KA}}\]

 

\[ \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KEA}\] (hai góc tương ứng bằng nhau)

\[ \Rightarrow AMFE\] nội tiếp.

c)   Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.

Xét tứ giác AMFE, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HFA} = {90^o}\,\,\left( {HF \bot AB} \right)\\\widehat {HEA} = {90^o}\,\,\left( {HE \bot AC} \right)\end{array} \right.\].

Suy ra: \[AFHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Mà \[AMFE\] nội tiếp

\[ \Rightarrow A,M,F,H,E\,\, \in \] đường tròn đường kính \[AH\]

\[ \Rightarrow \widehat {HMA} = \widehat {HFA} = 90^\circ \]\[ \Rightarrow HM \bot AM\] \(\left( 3 \right)\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng của \[A\] qua \[O \Rightarrow AI\] là đường kính của \[\left( O \right)\]

\[ \Rightarrow AM \bot MI\] \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) \[ \Rightarrow \,\,M,H,I\] thẳng hàng \(\left( 5 \right)\)

Mà \[AI\] là đường kính của \[\left( O \right)\]

\[ \Rightarrow IC \bot AC,\,IB \bot BA\]

\[ \Rightarrow IC\parallel BH,\,\,IB\parallel CH\]

\[ \Rightarrow BHCI\] là hình bình hành

\[ \Rightarrow HI \cap BC = N\] là trung điểm mỗi đường

\[ \Rightarrow H,N,I\] thẳng hàng \(\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) \[ \Rightarrow M,H,N\] thẳng hàng (đpcm).