Cho ΔABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Tia EF cắt tia CB tại K .

a) Chứng minh \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BFEC\) có:

\(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) (\(BE,{\rm{ }}CF\) là hai đường cao của \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow \) tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

 Chứng minh \(KE.KF = KB.KC\)

Xét hai tam giác \(\Delta KEB\) và \(\Delta KCF\) có: \(\widehat {EKC}\) là góc chung và \(\widehat {KEB} = \widehat {KCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta KEB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KCF{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KF}}\\ \Rightarrow KE.KF = KB.KC{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

b) Chứng minh \(AEFM\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(AMBC\) nội tiếp (\(A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) thuộc \(\left( O \right)\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {KMB} = \widehat {KCA}\\ \Rightarrow \Delta KMB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KCA{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow KM.KA = KB.KC{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra

\[\begin{array}{l} \Rightarrow KM.KA = KE.KF\\ \Rightarrow \Delta KMF{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta KEA{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KEA}{\rm{ }}\end{array}\]

Suy ra tứ giác \(AEFM\) nội tiếp. \(\left( 3 \right)\)

 c)Chứng minh ba điểm \(M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}N\) thẳng hàng.

Gọi \(AS\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ACS} = {90^0}\) và \(\widehat {ABS} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, \(AS\) là đường kính)

\( \Rightarrow BHCS\) là hình bình hành \( \Rightarrow H,{\rm{ }}N,{\rm{ }}S\) thẳng hàng.

Ta có \(AFHE\) nội tiếp (\(\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)) \(\left( 4 \right)\)

 Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) \[ \Rightarrow A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}F,{\rm{ }}H,{\rm{ }}E\] cùng thuộc một đường tròn

\( \Rightarrow AMHE\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MHA} = {90^0} \Rightarrow HM \bot AK\) tại \(M\)

Ta có \(\widehat {AMS} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, \(AS\) đường kính) \( \Rightarrow SM \bot AK\) tại \(M\)

Tóm lại:

\(H,{\rm{ }}N,{\rm{ }}S\) thẳng hàng (chứng minh trên)

\(HM \bot AK\) tại \(M\)(chứng minh trên)

\(SM \bot AK\) tại \(M\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow S,{\rm{ }}N,{\rm{ }}H,{\rm{ }}M\) thẳng hàng.