Cho Δ ABC nhọn ( AB < AC ) có đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D , trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = BC . Chứng minh: a) Δ ABC = Δ BAE .

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta BAE\).

Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AB\)nên \(DA = DB\).

Suy ra \(\Delta DAB\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BAE\) có:

\(AB\)cạnh chung; \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\) (cmt); \(AE = BC\) (giả thiết)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta BAE\)(c.g.c)

b) Chứng minh \(AB\,\parallel \,CE\).

Ta có \(AE = BC\) (giả thiết); \(DA = DB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(DA - AE = DB - BC\) nên\(DE = DC\).

Do đó \(\Delta DEC\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ADB}}}{2}\) hay\(\widehat {DEC}\) và \(\widehat {DAB}\) ở vị trí đồng vị

Do đó \(AB\,\parallel CE\).

c) Trung trực của cạnh \(AB,\,BE,\,AC\)cùng đi qua một điểm

Gọi \(H\) là giao điểm của trung trực \(AB\) và \(AC\).

Suy ra \(HA = HB = HC\).     \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(H\) và \(D\) nằm trên trung trực của \(AB\) nên \(HD \bot AB\).

Mà \(AB\parallel CE\)nên\(HD \bot CE\).

Mặt khác \(\Delta DEC\) cân tại \(D\) có \(HD \bot CE\).

Suy ra \(HD\) là trung trực của \(CE\) hay \(HE = HC\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(HB = HE\) nên \(H\) thuộc trung trực của \(BE\).

Vậy trung trực của \(AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC\)cùng đi qua một điểm \(H\).