Cho ΔABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BA=BE, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BC=BM. (a) Chứng minh: ΔABC=ΔEBM. (b) Chứng minh: ME//AC. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EBM\) có:

\(BA = BE\) (gt);

\(\widehat {ABC} = \widehat {EBM}\) (đối đỉnh);

\(BC = BM\) (gt).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (c.g.c)

b) Ta có \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {BCA} = \widehat {EMB}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \[ME\,{\rm{//}}\,AC\].

c) Vì \[ME\,{\rm{//}}\,AC\] (câu b) và \(EA \bot AC\) nên \(EA \bot EM\) hay \(\widehat {AEM} = 90^\circ \).

Xét \[\Delta EMA\] và \[\Delta HAM\] có:

\(\widehat {AEM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \);

Cạnh \(AM\) chung;

\(\widehat {EMA} = \widehat {HAM}\) (\[ME\,{\rm{//}}\,AC\], so le trong)

Do đó \[\Delta EMA = \Delta HAM\] (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(EM = AH\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(EM = AC\) (vì \(\Delta ABC = \Delta EBM\)) nên \(AH = AC\) suy ra \(MA\) đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Vì \(\Delta ABC = \Delta EBM\) (câu a) nên \(BC = BM\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(HB\) đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Xét \(\Delta HMC\) có \(MA,\,\,HB\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta HMC\).

Mặt khác, I là trung điểm của MH nên \(CI\) là đường trung tuyến của \(\Delta HMC\).

Do đó ba điểm \(C,\,\,G,\,\,I\) thẳng hàng.

Cho ΔABC có trung tuyến AI và trọng tâm G thì GI/AI bằng