Cho ΔABC có ba đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: (a) AD<AB+AC / 2. (b) BE+CF>3/2BC. (c) 3/4(AB+BC+AC)<AD+BE+CF<AB+BC+AC.

a) Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[H\] sao cho \[DA = DH\].

• Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta HDC\] có

\[BD = CD\] (\[D\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {ADB} = \widehat {HDC}\] (đối đỉnh)

\[AD = HD\] (cách dựng)

Do đó \[\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AB = HC\] (hai cạnh tương ứng).

• Xét \[\Delta ACH\] có \[AC + HC > AH\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[AC + AB > 2AD\] hay \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

b) Ta có \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\] nên \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \[BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD\].

Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\] hay \[BE + CF > \frac{3}{2}BC.\]

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác \[AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC\]:

• Xét \[\Delta AGB\] có \[AG + BG > AB\]. (1)

• Xét \[\Delta AGC\] có \[AG + CG > AC\]. (2)

• Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\]. (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

\[AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC\]

\[2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC\]

\[\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC\]

\[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF\].

Theo câu a) ta có \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

Chứng minh tương tự, ta có: \[BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}\].

Suy ra \[AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}\].

Do đó \[AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Vậy \[\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].