Cho ΔABC có ba đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: (a) AD<AB+AC/2. (b) BE+CF>3/2BC.

25/41

Cho $Δ A B C$ có ba đường trung tuyến $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $G$ . Chứng minh rằng:

(a) $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

(b) $B E + C F > \frac{3}{2} B C$ .

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho ΔABC có ba đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: (a) AD<AB+AC/2. (b) BE+CF>3/2BC. (ảnh 1)

a) Trên tia đối của tia $D A$ lấy điểm $H$ sao cho $D A = D H$ .

• Xét $Δ A D B$ và $Δ H D C$ có

$B D = C D$ ( $D$ là trung điểm của $B C$ )

$\hat{A D B} = \hat{H D C}$ (đối đỉnh)

$A D = H D$ (cách dựng)

Do đó $Δ A D B = Δ H C D (c . g . c)$ .

Suy ra $A B = H C$ (hai cạnh tương ứng).

• Xét $Δ A C H$ có $A C + H C > A H$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $A C + A B > 2 A D$ hay $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

b) Ta có $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$ .

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B E, C G = \frac{2}{3} C F, A G = \frac{2}{3} A D$ .

Xét $Δ B G C$ có $B G + C G > B C$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3} (B E + C F) > B C$ hay $B E + C F > \frac{3}{2} B C .$

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác $A G B, A G C, B G C$ :

• Xét $Δ A G B$ có $A G + B G > A B$ . (1)

• Xét $Δ A G C$ có $A G + C G > A C$ . (2)

• Xét $Δ B G C$ có $B G + C G > B C$ . (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

$A G + B G + A G + C G + B G + C G > A B + A C + B C$

$2 A G + 2 B G + 2 C G > A B + A C + B C$

$\frac{4}{3} A D + \frac{4}{3} B E + \frac{4}{3} C F > A B + A C + B C$

$\frac{3}{4} (A B + B C + A C) < A D + B E + C F$ .

Theo câu a) ta có $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

Chứng minh tương tự, ta có: $B E < \frac{A B + B C}{2}; C F < \frac{B C + A C}{2}$ .

Suy ra $A D + B E + C F > \frac{A B + A C}{2} + \frac{A B + B C}{2} + \frac{B C + A C}{2}$ .

Do đó $A D + B E + C F < A B + B C + A C$ .

Vậy $\frac{3}{4} (A B + B C + A C) < A D + B E + C F < A B + B C + A C$ .