Cho ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Phân giác của BAC cắt BC tại I.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD.

△ABD: N, Q là trung điểm của BD, AD => NQ là đường trung bình của △ABD

=> NQ // ABNQ=12AB        (1)

△ABC: M, P  là trung điểm của AC, BC => MP là đường trung bình của △ABC

=> MP // ABMP=12AB        (2)

Từ (1), (2) => MQNP là hình bình hành.

△BCD: N, P  là trung điểm của BD, BC => NP  là đường trung bình của △ABC

=> NP=12.CD

Vì CD = AB => NP = NQ.

Hình bình hành MQNP có NP = NQ => MQNP là hình thoi

=> PQ⊥MN và QP là phân giác của NQM^

QP là phân giác của NQM^⇒NQP^=12NQM^  (3)

Ta có: AI là phân giác của BAC^⇒BAI^=12BAC^     (4)

Vì NQ // AB => NQM^=BAC^  (5)

Từ (3), (4), (5) => BAI^=NQP^ (hai góc ở vị trí đồng vị)

=> AI // PQ, mà PQ⊥MN => AI // MN