Cho Δ ABC có AB = AC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD . a) Chứng minh rằng Δ ABM = Δ DCM . b) Chứng minh AB ∥ DC .

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\), có:

\[AM = MD\] (gt)

\[\widehat {BMA} = \widehat {CMD}\] (đối đỉnh)

\[BM = MC\] (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c)

b) Từ phần a, có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong, suy ra \(AB\parallel DC\).

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[A\].

Mà có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] là đường cao của \[\Delta ABC\].

Suy ra \(AM \bot BC\).

d) Từ a) có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(AB = DC\) (2 cạnh tương ứng).

Mà \[AB = AC\] nên \[AC = CD\], suy ra \(\Delta CAD\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {CAD} = 45^\circ \).

Có \(\widehat {BAC} = 2\widehat {CAD} = 90^\circ \) (\[AM\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác \(\widehat {BAC}\)).

Lúc này \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy để góc \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].