Cho Δ ABC có AB < AC . Kẻ A H vuông góc với BC ( H ∈ BC ) . Trên tia AH lấy điểm K sao cho H là trung điểm của AK . a) chứng minh: Δ AHC = Δ KCH .

6/16

Cho $\Delta ABC$ có $AB < AC\,$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC(\,H \in BC)$. Trên tia $AH$ lấy điểm $K$ sao cho $H$ là trung điểm của $AK$.

a) chứng minh: $\Delta AHC = \Delta KCH$.

b) Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Trên tia $AE$ lấy điểm $D$ sao cho $E$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh rằng: $BD = AC = CK$.

c) chứng minh rằng: $EH$ là tia phân giác của góc $\widehat {AEK}$ và $DK\,{\rm{//}}\,BC$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $CK$, $N$ là trung điểm của $KD$. Chứng minh: $E,I,N$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$H\) vuông góc với $BC(\,H \in BC)$. Trên tia $AH$ lấy điểm $K$ sao cho $H$ là trung điểm của $AK$. (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta KCH$ có

$AH = HK$ ($H$ là trung điểm của $AK$)

$\widehat {AHC} = \widehat {CHK}$ ($AH \bot BC$)

$CH$ là cạnh chung

Do đó $\Delta AHC = \Delta KHC$ (cgc).

b) Vì \[\Delta AHC = \Delta KHC\] (chứng minh trên) do đó \[AC = CK\] (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét \[\Delta AEC\] và \[\Delta DEB\] ta có :

\[AE = ED\] (\[E\] là trung điểm của \[AD\])

\[BE = CE\] (\[E\] là trung điểm của \[BE\]) \[\widehat {AEC} = \widehat {BEC}\] (đối đỉnh)

Do đó \[\Delta AEC = \Delta DEB\] (c.g.c), suy ra \[AC = DB\] (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[BD = AC = CK\].

c) Xét \[\Delta AHC\] và \[\Delta KHE\] ta có \[AH = KH\], \[\widehat {AHE} = \widehat {KHE}\], \[HE\] là cạnh chung

Suy ra \[\Delta AHC = \Delta KHE\] (c.g.c) do đó \[\widehat {AEH} = \widehat {KEH}\] (2 góc tương ứng)

Suy ra \[EH\] là tia phân giác \[AEK\].

Vì \[\Delta AHE = \Delta KHE\] nên \[AE = KE\] mà \[AE = ED\]

Suy ra \[KE = ED\] do đó \[\Delta KED\]cân tại \[E\] nên \[\widehat {EKD} = \widehat {EDK}\].

\[\widehat {EDK} + \widehat {KED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {EKD} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}\]

Lại có \[\widehat {AKE} + \widehat {KED} = 180^\circ \] suy ra \[\widehat {AKE} = 180^\circ - \widehat {KED}\].

\[\widehat {AEH} + \widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}\]

\[\widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}\]

\[\widehat {HEK} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}\] (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {HEK} = \widehat {ABC}\] mà chúng là 2 góc so le trong

Do đó \[HE{\rm{//}}KD\] hay \[BC{\rm{//}}KD\].

d) Xét \[\Delta KEN\] và \[\Delta DEN\]\[CE = ED\] (\[EN\] chung) \[KN = ND\] (\[N\] là trung điểm của \[KD\])

Suy ra \[\Delta KEN = \Delta DEN\] (c.c.c) nên \[\widehat {ENK} = \widehat {END}\] mà \[\widehat {ENK} + \widehat {END} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {ENC} = \widehat {END} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \] hay \[EN \bot KD\].

\[\Delta KBE = \Delta DCE\] suy ra \[BK = CD\] (2 cạnh tương ứng)

\[\Delta BKD = \Delta CDK\] (c.c.c) do đó \[\widehat {BDK} = \widehat {CKD}\] (2 góc tương ứng)

Suy ra \[\Delta KID\] cân tại \[I\] nên \[IK = ID\] xét \[\Delta KIN = \Delta DIN\] do đó \[\widehat {INK} - \widehat {IND}\].

Mà \[\widehat {INK} + \widehat {IND} = 180^\circ \] suy ra \[\widehat {INK} = \widehat {IND} = 90^\circ \] hay \[IN \bot KD\].