Cho ∆ABC có AB = AC (góc A<90 ). Vẽ BH vuông góc AC (H thuộc AC), CK vuông góc AB

1/3

Cho ∆ABC có AB = AC (A^<90°). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB). Gọi I là giao điểm của BH và CK. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Ta có các phát biểu sau:

(I) AI là tia phân giác của BAC^;

(II) AD ⊥ BC;

(III) D là trung điểm của BC.

Phát biểu đúng là:

I và II;

II và III;

I và III;

I, II và III.

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho ∆ABC có AB = AC (góc A<90 ). Vẽ BH vuông góc AC (H thuộc AC), CK vuông góc AB (ảnh 1)

Xét ∆AHB và ∆AKC, có:

AHB^=AKC^=90°.

AB = AC (giả thiết)

BAC^ là góc chung.

Do đó ∆AHB = ∆AKC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = AK (cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆AKI và ∆AHI, có:

AI là cạnh chung.

AK = AH (chứng minh trên)

AKI^=AHI^=90°.

Do đó ∆AKI = ∆AHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra BAI^=CAI^ (cặp góc tương ứng)

Khi đó AI là tia phân giác của BAC^. Do đó (I) đúng.

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung

BAI^=CAI^ (chứng minh trên)

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c – g – c)

Suy ra BD = CD và ADB^=ADC^ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng)

Khi đó D là trung điểm của BC. Do đó (III) đúng.

Mặt khác ta có ADB^+ADC^ = 180°

Do đó ADB^=ADC^= 90° hay AD ⊥ BC. Suy ra (II) đúng.

Vậy (I), (II) và (III) đều đúng.