Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), AD và BE là 2 đường cao cắt nhau tại H. Gọi G là điểm đối xứng của C qua O, K là giao điểm của CG và DE.

7/9

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, $AD$ và $BE$ là 2 đường cao cắt nhau tại $H$. Gọi $G$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$, $K$ là giao điểm của $CG$ và $DE$.

a) Chứng minh: 4 điểm $C$, $H$, $E$, $D$ cùng thuộc một đường tròn; 4 điểm $B$, $D$, $K$, $G$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $GH$ cắt $AB$ tại $I$, chứng minh $OI \bot AB$. Cho $\widehat {AOB} = 120^\circ $, chứng minh $\Delta OCH$ cân.

c) Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDE$, $PI$ cắt $BE$ tại $N$, $OI$ cắt $AD$ tại $M$. Chứng minh $MN\,{\rm{//}}\,AC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$$ \Rightarrow $$MN \bot BE$ mà \(AC \bot BE (ảnh 1)$

a) Chứng minh: 4 điểm $C$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc một đường tròn; 4 điểm $B$, $D$, $K$, $G$ cùng thuộc một đường tròn.

$\Delta CEH$ vuông tại $E$ $ \Rightarrow $$C$, $E$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$

$\Delta CHD$ vuông tại $D$ $ \Rightarrow $$C$, $D$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$

$ \Rightarrow $ 4 điểm $C$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$

Có $C \in \left( O \right)$ mà $G$ là điểm đối xứng của $C$ qua $O$$ \Rightarrow $$CG$ là đường kính của $\left( O \right)$

$ \Rightarrow $$\widehat {GBC} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa $\left( O \right)$)

$ \Rightarrow $$\Delta GBD$ vuông tại $B$$ \Rightarrow $$B$, $D$, $G$ cùng thuộc đường tròn đường kính $GD$

$\Delta AEB$ vuông tại $E$ $ \Rightarrow $$A$, $E$, $B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$

$\Delta ABD$ vuông tại $D$ $ \Rightarrow $$A$, $D$, $B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$

$ \Rightarrow $ 4 điểm $A$, $E$, $B$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$

$ \Rightarrow $Tứ giác $ABDE$ nội tiếp $ \Rightarrow $$\widehat {ABD} + \widehat {AED} = 180^\circ $

Mà $\widehat {CED} + \widehat {AED} = 180^\circ $$ \Rightarrow $$\widehat {ABD} = \widehat {CED}$

Mà $\widehat {ABD} = \widehat {AGC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn của $\left( O \right)$)$ \Rightarrow $$\widehat {AGC} = \widehat {CEK}$

Lại có $\widehat {GAC} = 90^\circ $ (góc bội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$)$ \Rightarrow $$\widehat {AGC} + \widehat {ACG} = 90^\circ $

$ \Rightarrow $$\widehat {CEK} + \widehat {ACG} = 90^\circ $$ \Rightarrow $$\widehat {CKE} = 90^\circ $$ \Rightarrow $$CG \bot DE$

$ \Rightarrow $$\Delta GKD$ vuông tại $K$$ \Rightarrow $$K$, $D$, $G$ cùng thuộc đường tròn đường kính $GD$

$ \Rightarrow $4 điểm $B$, $D$, $K$, $G$ cùng thuộc đường tròn đường kính $GD$

b) Gọi $GH$ cắt $AB$ tại $I$, chứng minh $OI \bot AB$. Cho $\widehat {AOB} = 120^\circ $, chứng minh $\Delta OCH$ cân.

Xét tứ giác $AGBH$ có: $GB\,{\rm{//}}\,AH$ (cùng $ \bot BC$) và $GA\,{\rm{//}}\,BH$(cùng $ \bot AC$)

$ \Rightarrow $Tứ giác $AGBH$ là hình bình hành $ \Rightarrow $$AB$ cắt $GH$ tại trung điểm $I$ của mỗi đường

Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ $\left( {OA = OB} \right)$ mà $OI$ là đường trung tuyến

$ \Rightarrow $ $OI$ vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, phân giác, đường cao của $\Delta OAB$ cân tại $O$

$ \Rightarrow $$OI \bot AB$ và $\widehat {IOA} = \widehat {IOB} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2}$

$$ \Rightarrow $$MN \bot BE$ mà \(AC \bot BE (ảnh 2)$

Xét $\Delta GHC$ có $IO$ là đường trung bình ($O$ và $I$ là trung điểm của $GC$, $GH$)$ \Rightarrow $$IO = \frac{{HC}}{2}$

$\Delta OAI$ vuông tại $I$ $ \Rightarrow $$OI = AO.\cos \widehat {AOI} = OA.\cos \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = OA.\cos 60^\circ = \frac{{OA}}{2}$

$ \Rightarrow $$HC = OC\left( { = 2OI} \right)$$ \Rightarrow $$\Delta OCH$ cân tại $C$.

c) Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDE$, $PI$ cắt $BE$ tại $N$, $OI$ cắt $AD$ tại $M$. Chứng minh $MN\,{\rm{//}}\,AC$.

$$ \Rightarrow $$MN \bot BE$ mà \(AC \bot BE (ảnh 3)$

Kẻ $MN' \bot BE$ tại $N'$; $GC$ cắt $BE$ tại $J$.

Chứng minh tứ giác $IBN'M$ nội tiếp đường tròn đường kính $MB$$ \Rightarrow $ $\widehat {IMB} = \widehat {IN'B}$ (1)

Ta có $\widehat {IBG} = \widehat {IAD}$ (so le trong và $GB\,{\rm{//}}\;AH$)

Mà $\widehat {IAD} = \widehat {IBM}$ (do $\Delta MAB$ cân tại $M$)$ \Rightarrow $$\widehat {IBG} = \widehat {IBM}$

Mà $\widehat {IBG} + \widehat {ABC} = 90^\circ $, $\widehat {IBM} + \widehat {IMB} = 90^\circ $$ \Rightarrow $$\widehat {ABC} = \widehat {IMB}$ $ \Rightarrow $$\widehat {ABC} = \widehat {IMB} = \widehat {AGC}$ (2)

Mà $\widehat {AGC} = \widehat {GJB}$ $\left( {AG\,{\rm{//}}\,BE} \right)$ (3)

Từ (1), (2), (3) $ \Rightarrow $ $\widehat {GJB} = \widehat {IN'B}\left( { = \widehat {AGC} = \widehat {ABC} = \widehat {IMB}} \right)$ $ \Rightarrow $$IN'\,{\rm{//}}\,GC$ (*)

Chứng minh 4 điểm $C$, $E$, $H$, $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CH$

Mà $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDE$$ \Rightarrow $$P$ là trung điểm của $HC$

Mà $I$ là trung điểm $GH$$ \Rightarrow $$IP$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$ \Rightarrow $$IP\,{\rm{//}}\,GC$ hay $IN\,{\rm{//}}\,GC$ (**)

Từ (*), (**) và $N,N' \in BE$$ \Rightarrow $$N$ và $N'$ trùng nhau

$ \Rightarrow $$MN \bot BE$ mà $AC \bot BE$$ \Rightarrow $$MN\,{\rm{//}}\,AC$.