Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD tại H, CK vuông góc với AE tại K. Gọi M là giao điểm của AI

a) Sai. Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\].

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (cmt); \[BD = CE\] (gt); \[AB = AC\] (gt)

Do đó \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng. Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\] nên \[\widehat D = \widehat E\].

Xét \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \); \[\widehat D = \widehat E\] (cmt); \[BD = CE\] (gt).

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn).

c) Sai. Ta có \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng).

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt); \[AD = AE\] (cmt); \[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\].

Do đó \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng. Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]