Cho ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E. (a) Chứng minh BDEC là hình thang cân,

a) Tứ giác BDEC có \(DE\,{\rm{//}}\,BC\,\,{\rm{(gt)}}\) nên tứ giác BDEC là hình thang.

Hình thang BDEC có \(\widehat {CBD} = \widehat {BCE}\,\,(\Delta \,ABC\)cân tại A)

Do đó tứ giác BDEC là hình thang cân.

b) Vì ABC cân tại A và H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao vừa là đường trung trực của ABC. (1)

Xét \[\Delta BDC\] và \[\Delta CEB\] có:

\[DB = EC\] (BDEC là hình thang cân )

Cạnh BC chung

DC = BE (BDEC là hình thang cân)

Suy ra \[\Delta BDC = \Delta CEB\] (c.c.c)

Suy ra \[\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\] (hai góc tương ứng) nên \[\Delta BOC\] cân tại O.

Suy ra OH là đường trung tuyến vừa là đường trung trực của \[\Delta BOC\]. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, O, H cùng nằm trên đường trung trực của ABC.

Vậy A, O, H thẳng hàng.