Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Giải thích
Đáp án đúng là: D
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A:
Ta có ∆ABC cân tại A nên AB = AC.
Mà AB = 2AE (E là trung điểm AB) và AC = 2AD (D là trung điểm AC).
Suy ra 2AE = 2AD hay AE = AD.
Xét ∆ADB và ∆AEC, có:
AB = AC (∆ABC cân tại A).
AE = AD (chứng minh trên).
BAC^ là góc chung.
Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).
Suy ra BD = CE (cặp cạnh tương ứng).
Do đó đáp án A đúng.
Đáp án B:
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC nên BG=23BD và CG=23CE.
Mà BD = CE (chứng minh trên).
Suy ra 23BD=23CE.
Do đó BG = CG.
Vậy ∆GBC cân tại G.
Do đó đáp án B đúng.
Đáp án C:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
GD=12GB,GE=12GC
Do đó GD+GE=12BG+12CG=12BG+CG.
Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).
Suy ra GB+GE>12BC (điều phải chứng minh).
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.