Cho ABC cân ở A ( ˆ A < 90 ∘ ). Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ IH vuông góc với AB (H AB), IK vuông góc với AC (K AC). (a) Chứng minh: AIB = AIC và AI BC.

a) Chúng minh được AIB = AIC (c.c.c)

\(\widehat {AIB} = \widehat {AIC}\) (Hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AIB} + \widehat {AIC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\(\widehat {AIB} = \widehat {AIC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay AI BC

b) Chứng minh được AIH = AIK (cạnh huyền – góc nhọn)

IH = IK (Hai cạnh tương ứng)

Trong BHI vuông tại H có IH < IB ( Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

IK < IB

c) AKE = AHF (g.c.g) AE = AF (Hai cạnh tương ứng)

AEF cân tại A \(\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\) (1)

AIH = AIC (theo câu c) AH = AK (Hai cạnh tương ứng) AHK cân tại A AHK^=180°−BAC^2(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AHK}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // EF.