Cho Δ ABC ( AB < AC ) nội tiếp ( O ; R ) đường kính BC , trên cung nhỏ AC lấy điểm D , BD cắt AC tại E , từ E vẽ EF ⊥ BC tại F .

a) Chứng minh tứ giác \(BAEF\) nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác \(BAEF\), ta có:

\(\widehat {BFE} = 90^\circ \) (\(EF \bot BC\) tại \(F\))

\(\widehat {BAE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa \(\left( O \right)\))

Gọi I là trung điểm \(BE\). Theo tính chất trung tuyến của tam giác vuông

Thì \(IA = IE = IB = IF\)suy ra 4 điểm \(B,A,E,F\)cùng thuộc đường tròn

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BAEF\) nội tiếp

b) Chứng minh DB là phân giác góc \(ADF\).

Chứng minh tương tự tứ giác \(CDEF\) nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {EDF} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  \(EF\))

Mà \(\widehat {BCA} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của \(\left( O \right)\)

Nên \(\widehat {EDF} = \widehat {ADB}\)

\( \Rightarrow DB\) là tia phân giác của góc \(ADF\).

c) Chứng minh \(DM.CA = CF.CO\).

Xét \(\Delta CDE\) vuông tại \(D\), ta có: \(DM\) là đường trung tuyến (\(M\) là trung điểm của \(CE\))

\( \Rightarrow DM = \frac{1}{2}CE\)\( \Rightarrow CE = 2DM\).

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta CBA\), ta có:

\(\widehat {ACB}\) là góc chung

\(\widehat {CFE} = \widehat {CAB}\) \(\left( { = 90^\circ } \right)\)

 \(\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CA}}\) (tỉ số đồng dạng)

\( \Rightarrow CE.CA = CF.CB\)

Mà \(CE = 2DM\) và \(CB = 2CO\) (\(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\))

Nên \(2DM.CA = CF.2CO\)

\( \Rightarrow DM.CA = CF.CO\).