Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

 

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ Ka+b2;0.

     H là trung điểm của CD ⇒ H0;c+d2.

⇒ Ia+b2;c+d2.

Ta có: IA→=a−a+b2;−c+d2⇒ IA = IA→=a−a+b22+−c+d22 .

          IC→=−a+b2;c−c+d2 ⇒ IC = IC→=−a+b22+c−c+d22.

Vì IA = IC (= R) ⇒ a−a+b22+−c+d22=−a+b22+c−c+d22

⇔ (a−b)² + (c+d)² = (a+b)² + (c−d)²

⇔ a²−2ab+b²+c²+2cd+d² = a²+2ab+b²+c²−2cd+d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: EF→= (−a; −c}, BD→= (−b; d)

⇒ EF→. BD→= (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ EF→⊥BD→ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.