Cho a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca và a + b + c = 2025. Tính

Hướng dẫn giải

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\(\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\) (*)

Nhận xét: Với mọi \(a,b,c\) ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Khi đó, \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Do đó để (*) xảy ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\].

Khi đó \[a = b = c\] và \(a + b + c = 2025\)

Do đó \[a = b = c = \frac{{2\,\,025}}{3} = 675.\]