Cho a1;a2; a3.. ;a2023; a2024 là 2024 số thực thỏa mãn ak = (2k + 1)/(k^2+ k}^2) với k thuộc {1;{2;3; ..... ;2024}. Tính tổng S2024 = a1 + a2 + a3 + ... + a 2024

Hướng dẫn giải

Ta có \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}\]

\[{S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.\]