Cho A = xy / (căn bậc hai của yx + xy − x căn bậc hai của y^2 x^2 + 1) với x > 0, y > 0. Tính giá trị biểu thức A khi xy = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

\({\rm{A}} = {\rm{xy}}\sqrt {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} - {\rm{x}}\sqrt {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^2}\left( {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}} + \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}\left( {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}}{\rm{ + 1}}} \right)} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} + {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{y}}} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{\rm{xy}}\left( {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \)

\({\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right)\).

Vì xy = 1 và x > 0, y > 0 nên \(\sqrt {{\rm{xy}}} - 1 = 0\).

Do đó,\({\rm{A}} = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} \left( {\sqrt {{\rm{xy}}} - 1} \right) = \sqrt {{{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}} .0 = 0\).

Vậy A = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.