Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9 a^ 2 + 8 a b + 7 b^ 2 ≤ 6 . Chứng minh rằng 7 a + 5 b + 12 a b ≤ 9 .

Xét tam thức bậc hai \(f\left( a \right) = 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3\) với \(b\) là tham số

Ta có \({\Delta _f} = {\left( {4b + 7} \right)^2} - 36\left( {7{b^2} - 5b + 3} \right) =  - 59{\left( {2b - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(b\).

Suy ra \(f\left( a \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 7a + 5b + 12ab - 9 \le 9{a^2} + 8ab + 7{b^2} - 6\)

Theo giả thiết ta có \(9{a^2} + 8ab + 7{b^2} \le 6\) nên \(7a + 5b + 12ab \le 9\) (đpcm).