Cho a thuoc (0;pi/2) Tính tích phân xdx/1+x^2+ tích phân dx/x(1+x^2)

29/46

Cho a∈0;π2. Hãy tính ∫etanaxdx1+x2+∫ecotadxx1+x2

I = 1

I = -1

I = e

I = -e

Giải thích

Xét hàm số ∫etanaxdx1+x2+∫ecotadxx1+x2 xác định với mọi x∈0;π2

Ta sẽ tính T(a)

Gọi F(t); G(t) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số y=t1+t2 và y=1t1+t2

Khi đó Tx=Ftanx-Fe+Gcotx-Ge

Suy ra

T'x=F'tanx.1cos2x-G'cotx.1sin2x=tanx1+tan2xcos2x-1cotx1+os2xsin2x=tanx-1cotx=0

Do đó T(x) là hàm hằng trên khoảng x∈0;π2. Khi a=π4 thì

Tπ4=∫e1xdx1+x2+∫e1dxx1+x2=∫e1dxx=-1

Đáp án B