Cho a = căn bậc hai của 2 + căn bậc hai của 7 − 3 căn bậc hai của 61 + 46 căn bậc hai của 5 + 1. Tính giá trị của biểu thức T = a^4 − 14a^2 + 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: \(\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^3} + 3.{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}.1 + {{3.1}^2}.2\sqrt 5 + {1^3}}}\)

                               \( = \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}} = 2\sqrt 5 + 1\)

Do đó, ta có: a = \(\sqrt 2 + \sqrt {7 - 2\sqrt 5 - 1} + 1 = \sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1\)

                        = \(\sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1\)

                        \( = \sqrt 2 + \sqrt 5 - 1 + 1\)

                        \( = \sqrt 2 + \sqrt 5 \)

Ta có: a² = \({\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} = 2 + 5 + 2\sqrt {10} = 7 + 2\sqrt {10} \).

Suy ra a⁴ = \({\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \right]^2} = {\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)^2} = 49 + 28\sqrt {10} + 40 = 89 + 28\sqrt {10} \).

Thay vào T = a⁴ – 14a² + 9, ta có:

T = a⁴ – 14a² + 9 = 89 + \(28\sqrt {10} \) − 14\(\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)\) + 9

                            = \(89 + 28\sqrt {10} - 98 - 28\sqrt {10} + 9 = 0\).

Vậy T = 0.