Cho a/c=a−b/b−c (a,c≠0;a≠b;b≠c). Chứng minh rằng: 1/a+1/a−b=1/b−c−1/c.

Cách 1: Theo đề bài: \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(1 = \frac{a}{c} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(bc + ab = 2ac\)

\(ab - ac = ac - bc\)

\(\left( {b - c} \right)a = c\left( {a - b} \right)\)

\(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) (luôn đúng).

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a + a - b}}{{c + b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\);

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a - a + b}}{{c - b + c}} = \frac{b}{{2c - b}}\) nên \(\frac{c}{a} = \frac{{2c - b}}{b}\).

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c}\) (luôn đúng).