Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 1/ /1 + a^2 +1/ 1 +b^2 lớn hơn hoặc bằng 2/ 1 +ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a2+b2+21+a21+b2≥21+ab.

⇔ (a² + b² + 2)(ab + 1) ≥ 2(a²b² + a² + b² + 1)

⇔ a³b + a² + ab³ + b² + 2ab + 2 ≥ 2a²b² + 2a² + 2b² + 2

⇔ a³b + ab³ + 2ab ≥ 2a²b² + a² + b²

⇔ ab(a² + b² – 2ab) – (a² + b² – 2ab) ≥ 0

⇔ (a² + b² – 2ab)(ab – 1) ≥ 0

⇔ (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0

Suy ra: (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vậy điều này luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Vậy a2+b2+21+a21+b2≥21+ab (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).