Cho a,b là hai số dương phân biệt thỏa mãn căn ab = a + b/ a - b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ab + a - b/ căn ab

ab=a+ba−b⇒aba−b=a+bvà a−b>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

P=ab+a−bab≥2ab.a−bab=2ab.a−b=2a+b

Lại có:

a+b2=a−b2+4ab≥2a−b2.4ab=22aba−b2=4aba−b=4a+b

⇒a+b≥4 (chia hai vế cho a+b)⇒P≥24=4. Vậy

Pmin=4⇔ab=a+ba−bab=a−baba+b=4⇔ab=a−b2a+ba+b=4⇔ab=a+b2−4aba+ba+b=4

⇔ab=a+b−4aba+ba+b=4⇔ab=4−4ab4a+b=4⇔ab=2a+b=4  

⇔a,b là nghiệm của phương trình :

x2−4x+2=0⇔x1=2+2x2=2−2⇔a=2+2b=2−2a=2−2b=2+2(ktm  do a>b)⇔a=2+2b=2−2