Cho a , b là các số thực thỏa mãn 1 < a ≤ b ≤ a 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = [ log a ( a^2 /b ) ]^3 − 3 log √ a ( b /a ) .

88/94

Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(1 < a \le b \le {a^5}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^3} - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt a }}\left( {\frac{b}{a}} \right)\).

-18 .

-51 .

-26 .

4 .

Giải thích

Phương pháp giải

Biến đổi logarit để đưa P về hàm đa thức biến t với \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).

Giải chi tiết

Ta có: \(P = {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)} \right]^3} - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt a }}\left( {\frac{b}{a}} \right) = {\left( {2 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^3} - 6\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b - 1} \right)\).
Do \(1 < a \le b \le {a^5} \Rightarrow 1 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b \le 5\).
Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b \Rightarrow P = - {t^3} + 6{t^2} - 18t + 14,t \in \left[ {1;5} \right]\).
Ta có: \(P' = - 3{t^2} + 12t - 18 < 0,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\), do đó hàm \(P\left( t \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\)
Vậy \({P_{{\rm{min}}}} = P\left( 5 \right) = - 51\).

Đáp án cần chọn là: B