Cho a,b là các số thực không âm thoả mãn {a^2} + {b^2} = 1

Cho  a, b là các số thực không âm thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\]. Chứng minh: \[{\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\].

 Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\) nên \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))

Đặt \[x = a + b\] nên \(2ab = {x^2} - 1\)

Mặt khác \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a,b\]

Suy ra \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\,\]nên \[1 \ge {x^2} - 1\,\] hay \[{x^2} \le 2\]

 Ta có: \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\]

\({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2}\)

Mà \({x^2} \le 2\) nên \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} \].