Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn log

23/25

Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right) = 3\]. Rút gọn biểu thức \({\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right)\) được kết quả bằng \( - \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính giá trị của biểu thức \(m + n\).

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right)}}{{{{\log }_a}\sqrt {ab} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_a}a + \frac{1}{3}{{\log }_a}b}}{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)}} = 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.\frac{{3 + {{\log }_a}b}}{{1 + {{\log }_a}b}} = 3 \Leftrightarrow 6 + 2{\log _a}b = 9 + 9{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b = - \frac{3}{7}\].

Ta có \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right)}}{{{{\log }_a}\sqrt {ab} }} = \frac{{{{\log }_a}b + \frac{1}{3}{{\log }_a}a}}{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)}} = \frac{{ - \frac{3}{7} + \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{3}{7}} \right)}} = - \frac{1}{3}\].

Suy ra \(m = 1,n = 3\). Vậy \(m + n = 4\).

Đáp án: \[4\].