Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu (6a + 11b) chia hết cho 31

Ta có: \(6a + 11b = 6.\left( {a + 7b} \right) - 31b.\)             (*)

Do đó \(31b \vdots 31,\) và \(6a + 11b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6\left( {a + 7b} \right) \vdots 31,\)

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra \(a + 7b \vdots 31.\)

Ngược lại, nếu \(a + 7b \vdots 31\), mà \(31b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6a + 7b \vdots 31.\)

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:

“Cho \[a,{\rm{ }}b\]là các số nguyên. Chứng minh rằng \(6a + 11b\) chia hết cho 31 khi và chỉ khi \(a + 7b\) chia hết cho 31”.