Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)^3+4ab<=12. Chứng minh bất đẳng

Ta có 12≥(a+b)3+4ab≥2ab3+4ab. Đặt t=ab,t>0 thì

12≥8t3+4t2⇔2t3+t2−3≤0⇔(t−1)(2t2+3t+3)≤0 

Do 2t2+3t+3>0,∀t nên t−1≤0⇔t≤1. Vậy 0<ab≤1 

Chứng minh được 11+a+11+b≤21+ab,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1 

Thật vậy, BĐT 11+a−11+ab+11+b−11+ab≤0 

ab−a(1+a)(1+ab)+ab−b(1+b)(1+ab)≤0⇔b−a1+aba1+a−b1+b⇔(b−a)2(ab−1)(1+ab)(1+a)(1+b)≤0 

 

Do 0<ab≤1 nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM 21+ab+2015ab≤2016,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1

Đặt t=ab,0<t≤t ta được 21+t+2015t2≤2016 

2015t3+2015t2−2016t−2014≤0⇔(t−1)(2015t2+4030t+2014)≤0 

BĐT này đúng ∀t:0<t≤1 

Vậy 11+a+11+b+2015ab≤2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1