Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a^3 + b^3 = a^5 + b^5 , Chứng minh rằng: a^2 + b^2 nhỏ hơn bằng 1 + ab
Giải thích
Ta có:
a2+b2≤1+ab⇔ a2+b2−ab≤1⇔ a+ba2+b2−ab≤a+b
⇔ a3+b3≤a+b⇔ a3+b3a3+b3≤a+ba5+b5⇔ 2a3b3≤ab5+a5b⇔ aba4−2a2b2+b4≥0⇔ aba2−b22≥0,∀a,b>0
Ta có:
a2+b2≤1+ab⇔ a2+b2−ab≤1⇔ a+ba2+b2−ab≤a+b
⇔ a3+b3≤a+b⇔ a3+b3a3+b3≤a+ba5+b5⇔ 2a3b3≤ab5+a5b⇔ aba4−2a2b2+b4≥0⇔ aba2−b22≥0,∀a,b>0