Cho a, b là các số dương. Biết lim x → − ∞ ( √ 9 x^2 − a x + 3 √ 27 x^3 + b x^2 + 5 ) = 7 27 . Tìm giá trị lớn nhất của ab.

100/100

Cho a, b là các số dương. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}{{27}}\). Tìm giá trị lớn nhất của ab.

\(\frac{{49}}{{18}}\)

\(\frac{{59}}{{34}}\)

\(\frac{{43}}{{58}}\)

\(\frac{{75}}{{68}}\)

Giải thích

Phương pháp giải

Dùng phương pháp liên hợp.

Dạng vô định ∞ - ∞

Lời giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + 3x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{9{x^2} - ax - 9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} - ax} - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{27{x^3} + b{x^2} + 5 - 27{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - ax}}{{\sqrt {9{x^2} - ax} - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{b{x^2} + 5}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - a}}{{ - \sqrt {9 - \frac{a}{x}} - 3}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{b + \frac{5}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27 + \frac{b}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}.3 + 9}}\)

\( = \frac{{ - a}}{{ - 6}} + \frac{b}{{27}} = \frac{a}{6} + \frac{b}{{27}} = \frac{{27a + 6b}}{{6.27}}\).

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}{{27}}\)

\( \Rightarrow \frac{{27a + 6b}}{{6.27}} = \frac{7}{{27}} \Leftrightarrow \frac{{27a + 6b}}{6} = 7 \Leftrightarrow 27a + 6b = 42\)

\( \Leftrightarrow b = \frac{{42 - 27a}}{6} = 7 - \frac{9}{2}a\)

Khi đó: \(ab = a.\left( {7 - \frac{9}{2}a} \right) = - \frac{1}{2}\left( {9{a^2} - 14a} \right) = - \frac{1}{2}{\left( {3a - \frac{7}{3}} \right)^2} + \frac{{49}}{{18}} \le \frac{{49}}{{18}}\)

Dấu “=” xảy ra ⇔ \(a = \frac{7}{9},b = \frac{7}{2}\). Chọn A