Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có (1+a2)(1+b2)≥1+ab=1+a+b (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

1x+1y(x+y)≥21x.1y.2xy=4⇒1x+1y≥4x+y (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

P≥4a2+2a+b2+2b+1+a+b=4a2+b2+2ab+1+a+b=4(a+b)2+a+b8+7(a+b)8+1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

a+b=ab≤(a+b)24⇒(a+b)2≥4(a+b)⇒a+b≥4

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

4(a+b)2+a+b16+a+b16≥34(a+b)2.a+b16.a+b163=34⇒P≥34+78.4+1=214

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4