Cho a,b,cthỏa mãn đồng thời a+b+c=6 và a^2+b^2+c^2=12. Tính giá trị của biểu thức P=(a−3)^2023+(b−3)^2024+(c−3)^2025.

Ta có: \[a + b + c = 6\]

\[\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = {6^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 36\\\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {2ab + 2bc + 2ca} \right) = 36\\12 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\\2\left( {ab + bc + ca} \right) = 24\\ab + bc + ca = 12\end{array}\]

Ta có \[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}\]

\[ = {a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2}\]

\[\begin{array}{l} = \left( {{a^2} + {a^2}} \right) + \left( {{b^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + {c^2}} \right) + \left( { - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ = 2.12 - 2.12 = 0\end{array}\]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,{{\left( {a - b} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {b - c} \right)}^2} \ge 0\,;\,\,{{\left( {c - a} \right)}^2} \ge 0} \right)\\c - a = 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\].

Thay \[a = b = c\] vào \[a + b + c = 6\] ta được \[c + c + c = 6\] nên \[c = 2\].

Suy ra \[a = b = c = 2\].

Thay \[a = b = c = 2\] vào \[P = {\left( {a - 3} \right)^{2023}} + {\left( {b - 3} \right)^{2024}} + {\left( {c - 3} \right)^{2025}}\] có

\[P = {\left( {2 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2024}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2025}} = \left( { - 1} \right) + 1 + \left( { - 1} \right) = - 1\].

Vậy \[P = - 1\].