Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 6. Chứng minh rằng: 

Đặt P=a3b+b3c+c3a.

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

a3b+ab≥2a2b3c+bc≥2b2c3a+ac≥2c2.

⇒P=a3b+b3c+c3a≥2a2+b2+c2−ab+bc+ac, mà a+b+c+ab+bc+ac=6.

⇒P≥2a2+b2+c2+a+b+c−6.

Có a−b2+b−c2+a−c2≥0⇒2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca⇒3a2+b2+c2≥a+b+c2.

Suy ra P≥23a+b+c2+a+b+c−6.

Có ab+bc+ca≤a2+b2+c2⇒3ab+bc+ac≤a+b+c2.

Do đó 6=a+b+c+ab+bc+ac≤a+b+c+13a+b+c2⇒13a+b+c2+a+b+c−6≥0.⇒a+b+c≥3, a+b+c2≥9.

Suy ra P≥23.9+3−6=3. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy a3b+b3c+c3a≥3.