Cho a, b, c, x, y, z là các số dương khác 1. Biết logx a, logy b, logz c theo thứ tự lập thành 1 cấp

40/50

Cho a, b, c, x, y, z là các số dương khác 1. Biết \({\log _x}a,\,\,{\log _y}b,\,\,{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Hãy biểu diễn \({\log _b}y\) theo \({\log _x}a,\,\,{\log _z}c\)?

\({\log _b}y = \frac{{{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}\)

\({\log _b}y = \frac{{2\left( {{{\log }_a}x + {{\log }_c}z} \right)}}{{{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}\)

\({\log _b}y = \frac{{\left( {{{\log }_a}x + {{\log }_c}z} \right)}}{{2.{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}\)

\({\log _b}y = \frac{{2.{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}\)

Giải thích

Đáp án D

Phương pháp:

+) a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC \( \Rightarrow a + c = 2b\)

+) Sử dụng công thức \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\,\,\left( {0 < a,\,b \ne 1} \right)\)

Cách giải:

Vì \({\log _x}a,\,\,{\log _y}b,\,\,{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng nên ta có:

\({\log _x}a + {\log _z}c = 2{\log _y}b \Rightarrow {\log _y}b = \frac{{{{\log }_x}a + {{\log }_z}c}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _b}y = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_z}c}}\)

\( \Rightarrow {\log _b}y = \frac{2}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}z}}}} = \frac{2}{{\frac{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}{{lo{g_a}x.{{\log }_c}z}}}}\)

\( \Rightarrow {\log _b}y = \frac{{2.lo{g_a}x.{{\log }_c}z}}{{lo{g_a}x + {{\log }_c}z}}\)