Cho Δ A B C vuông tại A , có ˆ C = 30 ∘ . Trên cạnh B C lấy điểm D sao cho B D = B A . (a) Chứng minh Δ A B D là tam giác đều. (b) Qua D kẻ D E vuông góc với B C , E ∈ A C

a) Xét \(\Delta ABC\) có : \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) có \(BA = BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\) có :

\(\widehat {BAE} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

\(BE\) : cạnh chung

\(BA = BD\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {DBE}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

c) Chứng minh \(AD = \frac{1}{2}BC\).

Theo b ta có \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \]

Lại có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \).

Do đó \(\Delta BCE\) cân tại \(E\)

\(\Delta BCE\) cân tại \(E\) có \(ED\) là đường cao nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BD = DC = \frac{1}{2}BC\)

Mà \(\Delta ABD\) là tam giác đều (theo a) nên \(AD = BD = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(AD = \frac{1}{2}BC\).

d) Xét \(\Delta MBC\) có hai đường cao \(CA\) và \(BN\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác

Do đó \(ME \bot BC\)

Lại \(ED \bot BC\) nên ba điểm \(M,\,E,\,\,D\) thẳng hàng \( \Rightarrow DE\) đi qua \(M\)

Mà \(CN\) cắt \(BA\) tại \(M\) \( \Rightarrow \) ba đường thẳng \(BA,\,\,CN,\,\,DE\) cùng đi qua điểm \(M\).