Cho Δ A B C vuông tại A ( A B < A C ). Tia phân giác của ˆ B cắt A C tại D . Kẻ D E vuông góc với B C tại E . Gọi M là giao điểm của A B và D E .

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);

\(BD\) là cạnh chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat B\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(BA = BE\) (hai cạnh tương ứng).

b) Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta BAC\), có:

\(\widehat {BEM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {ABE}\) là góc chung;

\(BA = BE\) (chứng minh câu a).

Do đó \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ADM}\) phụ với \[\widehat {BME}\]; \(\widehat {ABC}\) phụ với \(\widehat {BCA}\).

Do đó \(\widehat {ADM} = \widehat {ABC}\).

Lại có \(\widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) (do \(AB < AC\)).

Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BCA} < \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {AMD} < \widehat {ADM}\).

Khi đó \(AD < AM\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Mà \(AM < DM\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc).

Vậy trong \(\Delta ADM\), \(AD < AM < DM\).

c) \(\Delta MBC\) có \(CA\) và \(ME\) là hai đường cao cắt nhau tại \(D\).

Suy ra \(D\) là trực tâm của \(\Delta MBC\).

Do đó \(BD\) là đường cao thứ ba của \(\Delta MBC\) (1)

Do \(\Delta BEM = \Delta BAC\) (câu b) nên \(BM = BC\) (hai cạnh tương ứng).

\(\Delta BMC\) có \(BM = BC\) nên là tam giác cân tại \(B\).

Khi đó đường trung tuyến \(BK\) của tam giác đồng thời là đường cao của \(\Delta MBC\) (2)

Từ (1), (2), suy ra ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.